Номер 73, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. На рисунке 31 изображён правильный восьмиугольник $ABCDEFМK$,

$N$ — точка пересечения прямых $AK$ и $FM$. Найдите угол $MNK$.

Рис. 31

73. На рисунке 31 изображён правильный восьмиугольник $ABCDEFMK$,

$N$ — точка пересечения прямых $AK$ и $FM$. Найдите угол $MNK$.

Рис. 31

Поскольку многоугольник ABCDEFMK является правильным восьмиугольником, все его стороны равны и все его внутренние углы равны.

Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Для правильного восьмиугольника $n=8$, поэтому каждый внутренний угол равен:

$\alpha = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ$

Таким образом, внутренние углы при вершинах K и M равны $\angle MKA = 135^\circ$ и $\angle FMK = 135^\circ$.

Точка N является точкой пересечения прямых AK и FM. Это означает, что лучи KN и MN являются продолжениями сторон восьмиугольника AK и FM. Вместе со стороной MK они образуют треугольник $\triangle MNK$.

Рассмотрим углы этого треугольника. Угол $\angle NKM$ смежен с внутренним углом восьмиугольника $\angle MKA$. Следовательно, он является внешним углом восьмиугольника при вершине K:

$\angle NKM = 180^\circ - \angle MKA = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Аналогично, угол $\angle KMN$ смежен с внутренним углом восьмиугольника $\angle FMK$. Он является внешним углом восьмиугольника при вершине M:

$\angle KMN = 180^\circ - \angle FMK = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Теперь, зная два угла треугольника $\triangle MNK$, мы можем найти третий угол $\angle MNK$, используя свойство о сумме углов треугольника:

$\angle MNK + \angle NKM + \angle KMN = 180^\circ$

$\angle MNK + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle MNK = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Ответ: $90^\circ$