Номер 63, страница 42 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки, больший из которых равен 9 см. Две другие стороны треугольника равны 14 см и 21 см. Найдите площадь треугольника.

63. Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки, больший из которых равен 9 см. Две другие стороны треугольника равны 14 см и 21 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, две стороны равны 14 см и 21 см. Обозначим их как $a = 14$ см и $b = 21$ см. Фраза "две другие стороны" означает, что биссектриса делит третью, неизвестную сторону $c$. Пусть эта биссектриса, проведенная из угла между сторонами $a$ и $b$, делит сторону $c$ на отрезки $c_1$ и $c_2$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам:
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{a}{b} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$

Из полученной пропорции видно, что отрезки не равны. Так как отношение $\frac{c_1}{c_2} = \frac{2}{3} < 1$, то отрезок $c_1$ меньше отрезка $c_2$. По условию, больший из отрезков равен 9 см. Следовательно, $c_2 = 9$ см.

Теперь можем найти длину меньшего отрезка $c_1$:
$\frac{c_1}{9} = \frac{2}{3} \implies c_1 = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ см.

Полная длина третьей стороны $c$ равна сумме длин ее отрезков:
$c = c_1 + c_2 = 6 + 9 = 15$ см.

Итак, мы определили, что треугольник имеет стороны 14 см, 21 см и 15 см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр:
$p = \frac{14+21+15}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Подставим все значения в формулу Герона и вычислим площадь:
$S = \sqrt{25(25-14)(25-21)(25-15)} = \sqrt{25 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 10}$
$S = \sqrt{100 \cdot 110} = 10\sqrt{110}$ см².

Ответ: $10\sqrt{110}$ см².