Номер 56, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $30^\circ$, а его площадь — $72\sqrt{3}\text{ см}^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

56. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $30^\circ$, а его площадь — $72\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны $a$, а основание — $b$. Углы при основании по условию равны $30^\circ$.

Поскольку треугольник равнобедренный, углы при его основании равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, угол при вершине, противолежащий основанию, равен:
$180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей длины двух сторон и синус угла между ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot a_2 \cdot \sin(\gamma)$
В нашем случае в качестве двух сторон мы можем взять боковые стороны $a$, а угол между ними — это найденный угол при вершине, равный $120^\circ$.
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2}a^2\sin(120^\circ)$.

Известно, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи площадь треугольника $S = 72\sqrt{3}$ см². Подставим все известные значения в формулу площади и решим уравнение относительно $a$:
$72\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$72\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$72 = \frac{a^2}{4}$

Теперь найдем $a^2$:
$a^2 = 72 \cdot 4$
$a^2 = 288$

Чтобы найти длину боковой стороны $a$, извлечем квадратный корень из 288:
$a = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = \sqrt{144} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

Таким образом, длина боковой стороны треугольника составляет $12\sqrt{2}$ см.

Ответ: $12\sqrt{2}$ см.