Номер 49, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Меньшая сторона треугольника равна 8 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 5 : 8$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

49. Меньшая сторона треугольника равна 8 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $2 : 5 : 8$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть градусные меры трёх дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, относятся как $2:5:8$. Обозначим их как $2x$, $5x$ и $8x$.

1. Найдём градусные меры дуг.

Сумма градусных мер всех трёх дуг составляет полную окружность, то есть $360^\circ$. Составим и решим уравнение:

$2x + 5x + 8x = 360^\circ$

$15x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{15} = 24^\circ$

Теперь можем найти градусные меры каждой дуги:

• Меньшая дуга: $2x = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ$
• Средняя дуга: $5x = 5 \cdot 24^\circ = 120^\circ$
• Большая дуга: $8x = 8 \cdot 24^\circ = 192^\circ$

2. Найдём углы треугольника.

Величина вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, углы треугольника равны половинам градусных мер найденных дуг:

Первый угол: $\alpha = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ$

Второй угол: $\beta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Третий угол: $\gamma = \frac{192^\circ}{2} = 96^\circ$

Проверим правильность вычислений, сложив углы: $24^\circ + 60^\circ + 96^\circ = 180^\circ$. Сумма углов верна.

3. Найдём неизвестные стороны треугольника.

В любом треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. В нашем случае наименьший угол равен $24^\circ$. По условию задачи, меньшая сторона треугольника равна 8 см. Это означает, что сторона, противолежащая углу в $24^\circ$, имеет длину 8 см.

Для нахождения длин двух других сторон воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон треугольника:

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

Пусть $a_1$ — сторона, противолежащая углу $24^\circ$, $a_2$ — углу $60^\circ$, а $a_3$ — углу $96^\circ$. Нам известно, что $a_1 = 8$ см. Тогда:

$\frac{8}{\sin 24^\circ} = \frac{a_2}{\sin 60^\circ} = \frac{a_3}{\sin 96^\circ}$

Из этой пропорции найдём неизвестные стороны $a_2$ и $a_3$.

Найдём сторону $a_2$:

$a_2 = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 24^\circ}$

Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$a_2 = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 24^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 24^\circ}$ см.

Найдём сторону $a_3$:

$a_3 = \frac{8 \cdot \sin 96^\circ}{\sin 24^\circ}$ см.

Таким образом, мы нашли выражения для длин двух неизвестных сторон.

Ответ: Две неизвестные стороны треугольника равны $\frac{4\sqrt{3}}{\sin 24^\circ}$ см и $\frac{8 \sin 96^\circ}{\sin 24^\circ}$ см.