Номер 45, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 9$ см, а радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $ACM$, соответственно равны 4 см и 6 см.

45. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$. Найдите сторону $AB$, если $AC = 9$ см, а радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $ACM$, соответственно равны 4 см и 6 см.

Пусть $R_1$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABM$, и $R_2$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ACM$. Согласно условию задачи, нам даны следующие значения: $AC = 9$ см, $R_1 = 4$ см, $R_2 = 6$ см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности ($ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $).

Применим теорему синусов для треугольника $ACM$: $$ \frac{AC}{\sin(\angle AMC)} = 2R_2 $$ Подставим известные значения: $$ \frac{9}{\sin(\angle AMC)} = 2 \cdot 6 $$ $$ \frac{9}{\sin(\angle AMC)} = 12 $$ Из этого уравнения находим синус угла $\angle AMC$: $$ \sin(\angle AMC) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} $$

Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Важным свойством синусов для смежных углов является их равенство: $$ \angle AMB + \angle AMC = 180^\circ $$ $$ \sin(\angle AMB) = \sin(180^\circ - \angle AMC) = \sin(\angle AMC) $$ Следовательно: $$ \sin(\angle AMB) = \frac{3}{4} $$

Теперь применим теорему синусов для треугольника $ABM$: $$ \frac{AB}{\sin(\angle AMB)} = 2R_1 $$ Подставим известные значения $R_1$ и найденное значение синуса угла $\angle AMB$: $$ \frac{AB}{3/4} = 2 \cdot 4 $$ $$ \frac{AB}{3/4} = 8 $$ Выразим и найдем длину стороны $AB$: $$ AB = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6 $$

Ответ: 6 см.