Номер 38, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а угол при основании — $\alpha$. Найдите боковую сторону треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

38. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а угол при основании — $\alpha$. Найдите боковую сторону треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковые стороны равны: $AB = BC$.

Боковая сторона треугольника

Для нахождения длины боковой стороны проведем высоту BH из вершины B к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка H является серединой отрезка AC, и длина отрезка AH равна половине длины основания:

$AH = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет AH и прилежащий к нему угол $\angle BAH = \alpha$. Боковая сторона AB является гипотенузой.

Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle BAH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}$

Подставим известные значения:

$\cos \alpha = \frac{a/2}{AB}$

Отсюда выражаем длину боковой стороны AB:

$AB = \frac{a/2}{\cos \alpha} = \frac{a}{2 \cos \alpha}$

Ответ: $\frac{a}{2 \cos \alpha}$.

Биссектриса треугольника, проведённая из вершины угла при основании

Проведем биссектрису AD из вершины угла при основании A к боковой стороне BC. Обозначим длину этой биссектрисы как $l_{a}$.

Поскольку AD — биссектриса угла BAC, она делит его на два равных угла:

$\angle CAD = \angle DAB = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике нам известны:

• Сторона $AC = a$.
• Угол $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.
• Угол $\angle ACD = \alpha$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому можем найти третий угол $\angle ADC$:

$\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \alpha) = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}$

Применим к треугольнику ADC теорему синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

Подставим известные нам значения:

$\frac{l_{a}}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(180^\circ - \frac{3\alpha}{2})}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$\sin(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}) = \sin(\frac{3\alpha}{2})$

Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{l_{a}}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(\frac{3\alpha}{2})}$

Выражаем длину биссектрисы $l_{a}$:

$l_{a} = \frac{a \sin \alpha}{\sin(\frac{3\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{a \sin \alpha}{\sin(\frac{3\alpha}{2})}$.