Номер 33, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Сторона треугольника равна 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $5\sqrt{3}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

33. Сторона треугольника равна 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $5\sqrt{3}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего известной стороне, воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Она устанавливает связь между стороной треугольника, синусом противолежащего угла и радиусом описанной окружности.

Формула выглядит следующим образом:

$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$

где $a$ – длина стороны треугольника, $\alpha$ – величина угла, противолежащего этой стороне, а $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Сторона треугольника $a = 15$ см.
• Радиус описанной окружности $R = 5\sqrt{3}$ см.

Выразим из формулы $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{a}{2R}$

Теперь подставим в эту формулу числовые значения из условия:

$\sin\alpha = \frac{15}{2 \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{15}{10\sqrt{3}}$

Сократим дробь на 5:

$\sin\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Для дальнейшего упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin\alpha = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Сократив дробь на 3, получаем:

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне уравнение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения:

1. $\alpha_1 = 60^\circ$ (для остроугольного треугольника)

2. $\alpha_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (для тупоугольного треугольника)

Поскольку в условии задачи нет дополнительной информации о типе треугольника, оба варианта являются верными.

Ответ: 60° или 120°.