Номер 26, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. В треугольнике $ABC$ $AC = 22$ см, отрезок $AK$ — медиана, $AK = 14$ см. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $AB : BC = 7 : 12$.

26. В треугольнике $ABC$ $AC = 22$ см, отрезок $AK$ — медиана, $AK = 14$ см. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $AB : BC = 7 : 12$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника, которая является следствием теоремы Аполлония. Медиана $m_a$, проведенная к стороне $a$ в треугольнике со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле:
$4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$

В нашем треугольнике $ABC$ известны следующие данные:
Сторона $AC = 22$ см.
Медиана $AK = 14$ см (проведена к стороне $BC$).
Отношение сторон $AB : BC = 7 : 12$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон $AB$ и $BC$ можно выразить через $x$:
$AB = 7x$
$BC = 12x$

Теперь применим формулу длины медианы для медианы $AK$. В наших обозначениях: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, а медиана к стороне $a$ — это $AK$.
$4 \cdot AK^2 = 2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2$

Подставим все известные значения и выражения в эту формулу:
$4 \cdot 14^2 = 2 \cdot 22^2 + 2 \cdot (7x)^2 - (12x)^2$

Выполним вычисления и решим полученное уравнение:
$4 \cdot 196 = 2 \cdot 484 + 2 \cdot (49x^2) - 144x^2$
$784 = 968 + 98x^2 - 144x^2$
$784 = 968 - 46x^2$

Теперь выразим $x^2$:
$46x^2 = 968 - 784$
$46x^2 = 184$
$x^2 = \frac{184}{46}$
$x^2 = 4$

Поскольку $x$ является коэффициентом пропорциональности для длин сторон, его значение должно быть положительным.
$x = \sqrt{4} = 2$

Зная значение $x$, найдем длины искомых сторон $AB$ и $BC$:
$AB = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.
$BC = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Ответ: $AB = 14$ см, $BC = 24$ см.