Номер 28, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

Найдите сторону $BC$.

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

Найдите сторону $BC$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника $ABC$ это соотношение выглядит так:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

В задаче даны сторона $AB = 4\sqrt{2}$ см, а также углы $\angle C = 45^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$. Мы можем использовать часть теоремы, связывающую сторону $AB$ с углом $C$ и искомую сторону $BC$ с углом $A$:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Выразим из этого уравнения искомую сторону $BC$:

$BC = \frac{AB \cdot \sin(\angle A)}{\sin(\angle C)}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Значения синусов для данных углов являются табличными:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение и произведем вычисления:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей дробь:

$BC = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Сократим $\sqrt{2}$:

$BC = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.