Номер 30, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 6$ см, $BC = 2\sqrt{6}$ см, $\angle C = 60^\circ$;

2) $AC = 4$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle B = 30^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

30. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 6$ см, $BC = 2\sqrt{6}$ см, $\angle C = 60^\circ$;

2) $AC = 4$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle B = 30^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1)

Дано: в треугольнике $ABC$ сторона $AB = 6$ см, сторона $BC = 2\sqrt{6}$ см и угол $\angle C = 60^\circ$.

Для нахождения угла $A$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{2\sqrt{6}}{\sin A} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$

Отсюда выразим $\sin A$:

$\sin A = \frac{2\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{6}$

Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:

$\sin A = \frac{2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла в треугольнике ($0^\circ < A < 180^\circ$) имеет два возможных решения: $A_1 = 45^\circ$ и $A_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Проверим оба варианта, помня, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Случай 1: Если $\angle A = 45^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle C = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$. Так как $105^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Третий угол $\angle B$ будет равен $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. Это решение является допустимым.

Случай 2: Если $\angle A = 135^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle C = 135^\circ + 60^\circ = 195^\circ$. Так как $195^\circ > 180^\circ$, треугольник с такими углами существовать не может.

Следовательно, задача в этом случае имеет одно решение.

Ответ: $\angle A = 45^\circ$. Задача имеет одно решение.

2)

Дано: в треугольнике $ABC$ сторона $AC = 4$ см, сторона $BC = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle B = 30^\circ$.

Применим теорему синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin A}$

Выразим $\sin A$:

$\sin A = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{4}$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin A = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Как и в предыдущем пункте, возможные значения для угла $A$: $A_1 = 45^\circ$ и $A_2 = 135^\circ$.

Проверим оба варианта.

Случай 1: Если $\angle A = 45^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle B = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$. Так как $75^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Третий угол $\angle C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Это допустимое решение.

Случай 2: Если $\angle A = 135^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle B = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ$. Так как $165^\circ < 180^\circ$, такой треугольник тоже существует. Третий угол $\angle C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$. Это также допустимое решение.

Следовательно, задача в этом случае имеет два решения.

Ответ: $\angle A = 45^\circ$ или $\angle A = 135^\circ$. Задача имеет два решения.