Номер 37, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. На рисунке 28 $AC = b$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ADB = \gamma$, $AD = m$. Найдите синус угла $ABD$.

Рис. 28

37. На рисунке 28 $AC = b$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ADB = \gamma$, $AD = m$, Найдите синус угла $ABD$.

Рис. 28

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором по условию $\angle C = 90^\circ$, $AC = b$ и $\angle ABC = \beta$.

Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике следует, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные нам значения:

$\sin(\beta) = \frac{b}{AB}$

Из этого равенства выразим длину гипотенузы $AB$:

$AB = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны сторона $AD = m$, угол $\angle ADB = \gamma$ и мы нашли выражение для стороны $AB$. Мы можем применить теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянным для всех сторон и углов данного треугольника.

Запишем теорему синусов для сторон $AD$ и $AB$ и противолежащих им углов $\angle ABD$ и $\angle ADB$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения $AD=m$ и $\angle ADB = \gamma$:

$\frac{m}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$

Выразим отсюда искомый $\sin(\angle ABD)$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{AB}$

На последнем шаге подставим в это выражение найденное ранее выражение для $AB$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{\frac{b}{\sin(\beta)}}$

Упростим полученную многоэтажную дробь:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma) \cdot \sin(\beta)}{b}$

Ответ: $\frac{m \sin(\beta) \sin(\gamma)}{b}$