Номер 40, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $5$ см.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $5$ см.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AHC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$. По условию задачи, $R = 5$ см.

Воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Для треугольника $ABC$ она записывается как:$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R $Отсюда можно выразить сторону $AC$: $AC = 2R \sin(\angle B)$.

Аналогично, для треугольника $AHC$ теорема синусов выглядит так:$ \frac{AC}{\sin(\angle AHC)} = 2R_{AHC} $Отсюда $AC = 2R_{AHC} \sin(\angle AHC)$.

Приравнивая два полученных выражения для стороны $AC$, получаем соотношение между радиусами:$ 2R \sin(\angle B) = 2R_{AHC} \sin(\angle AHC) $$ R \sin(\angle B) = R_{AHC} \sin(\angle AHC) $

Теперь найдем зависимость между углами $\angle B$ и $\angle AHC$. Пусть $AA_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $C$ соответственно. Точка $H$ является их точкой пересечения (ортоцентром).

Рассмотрим четырехугольник $BC_1HA_1$. В нем $\angle BC_1H = 90^\circ$ и $\angle BA_1H = 90^\circ$, так как $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Следовательно:$ \angle B + \angle BC_1H + \angle C_1HA_1 + \angle HA_1B = 360^\circ $$ \angle B + 90^\circ + \angle C_1HA_1 + 90^\circ = 360^\circ $$ \angle C_1HA_1 = 180^\circ - \angle B $

Углы $\angle AHC$ и $\angle C_1HA_1$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle AHC = \angle C_1HA_1 = 180^\circ - \angle B$.

Подставим это соотношение в равенство, связывающее радиусы:$ R \sin(\angle B) = R_{AHC} \sin(180^\circ - \angle B) $

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:$ R \sin(\angle B) = R_{AHC} \sin(\angle B) $

Поскольку $\angle B$ является углом треугольника $ABC$, его синус не равен нулю ($\sin(\angle B) \ne 0$). Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $\sin(\angle B)$:$ R = R_{AHC} $

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$, равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$.Поскольку $R = 5$ см, то и $R_{AHC} = 5$ см.

Ответ: 5 см.