Номер 44, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как $5:13$.

Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её диагональ равна 12 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 13. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её диагональ равна 12 см.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, причем AD > BC. По условию, диагональ AC является биссектрисой острого угла ∠DAB. Это означает, что ∠BAC = ∠CAD.

Поскольку основания трапеции параллельны (BC || AD), углы ∠BCA и ∠CAD являются накрест лежащими при секущей AC, следовательно, ∠BCA = ∠CAD. Из этих двух равенств следует, что ∠BAC = ∠BCA. Это значит, что треугольник ABC является равнобедренным, и его стороны AB и BC равны: AB = BC.

Так как трапеция ABCD равнобокая, ее боковые стороны равны: AB = CD. Объединяя полученные результаты, имеем AB = BC = CD.

По условию, основания относятся как 5 : 13. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда меньшее основание BC = $5x$, а большее основание AD = $13x$. Из равенства сторон, которое мы доказали, следует, что боковые стороны также равны $5x$: AB = CD = $5x$.

Для нахождения $x$ воспользуемся длиной диагонали AC = 12 см. Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. В равнобокой трапеции длина отрезка HD, который является проекцией боковой стороны CD на большее основание, вычисляется по формуле:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 5x}{2} = \frac{8x}{2} = 4x$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. По теореме Пифагора найдем высоту CH:

$CH^2 = CD^2 - HD^2 = (5x)^2 - (4x)^2 = 25x^2 - 16x^2 = 9x^2$, откуда $CH = 3x$.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Его катеты равны CH = $3x$ и AH. Длину катета AH можно найти как $AH = AD - HD = 13x - 4x = 9x$. Гипотенузой этого треугольника является диагональ AC. Применим теорему Пифагора:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$12^2 = (9x)^2 + (3x)^2$

$144 = 81x^2 + 9x^2$

$144 = 90x^2$

Отсюда находим $x^2 = \frac{144}{90} = \frac{16}{10} = 1.6$.

Радиус R окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, треугольника ACD. Радиус описанной окружности можно найти по следствию из теоремы синусов:

$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Для треугольника ACD формула примет вид: $R = \frac{AC}{2\sin(\angle ADC)}$.

Синус угла ADC найдем из прямоугольного треугольника CHD:

$\sin(\angle ADC) = \frac{CH}{CD} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{12}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{12}{\frac{6}{5}} = 12 \cdot \frac{5}{6} = 10$ см.

Ответ: 10 см.