Номер 43, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите боковую сторону трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $6\sqrt{2}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны.

Найдите боковую сторону трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен $6\sqrt{2}$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Радиус окружности, описанной около трапеции, равен $R = 6\sqrt{2}$ см. Необходимо найти длину боковой стороны.

1. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, то треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трем сторонам ($AB=DC$, $BD=AC$, $AD$ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует равенство углов: $\angle CAD = \angle BDA$.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. Углы $\angle OAD$ (тот же, что и $\angle CAD$) и $\angle ODA$ (тот же, что и $\angle BDA$) являются углами при его основании $AD$. Так как $\angle OAD = \angle ODA$, треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным, т.е. $AO = DO$.

3. По условию, диагонали трапеции перпендикулярны, значит, угол $\angle AOD = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle AOD$ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Таким образом, $\angle ODA = 45^\circ$.

5. Окружность, описанная около трапеции $ABCD$, является также описанной и для треугольника $\triangle ABD$, вершины которого лежат на этой окружности.

6. Применим к треугольнику $\triangle ABD$ расширенную теорему синусов: $$ \frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = 2R $$ Здесь $AB$ — искомая боковая сторона (обозначим ее $c$), $R = 6\sqrt{2}$ см — радиус описанной окружности, а угол $\angle BDA = \angle ODA = 45^\circ$.

7. Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{c}{\sin(45^\circ)} = 2 \cdot 6\sqrt{2} $$ Выразим отсюда $c$: $$ c = 12\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) $$ Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим: $$ c = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 12 \cdot \frac{2}{2} = 12 \text{ см}. $$

Ответ: 12 см.