Номер 42, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 24 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

42. Основания равнобокой трапеции равны 8 см и 24 см, а боковая сторона — 10 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, меньшее основание $BC = 8$ см, большее основание $AD = 24$ см, а боковые стороны $AB = CD = 10$ см.

1. Найдем высоту трапеции

Проведем высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Так как трапеция равнобокая, отрезки, которые высоты отсекают от большего основания, равны:

$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{24 - 8}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$:

$h^2 = AB^2 - AH^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$.

Следовательно, высота трапеции $h = \sqrt{36} = 6$ см.

2. Найдем диагональ трапеции

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного любыми тремя ее вершинами, например, треугольника ABD. Для нахождения этого радиуса нам понадобится длина диагонали BD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. Его катеты равны $BH = 6$ см и $HD = AD - AH = 24 - 8 = 16$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу BD, которая является диагональю трапеции ($d$):

$d^2 = BD^2 = BH^2 + HD^2 = 6^2 + 16^2 = 36 + 256 = 292$.

$d = BD = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности

Для треугольника ABD со сторонами $AB=10$ см, $AD=24$ см и $BD=2\sqrt{73}$ см радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

Площадь треугольника ABD равна:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72$ см$^2$.

Подставим известные значения в формулу для радиуса:

$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4S_{ABD}} = \frac{10 \cdot 24 \cdot 2\sqrt{73}}{4 \cdot 72} = \frac{480\sqrt{73}}{288}$.

Сократим дробь $\frac{480}{288}$, разделив числитель и знаменатель на 96:

$\frac{480}{288} = \frac{5 \cdot 96}{3 \cdot 96} = \frac{5}{3}$.

Таким образом, радиус равен:

$R = \frac{5\sqrt{73}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{73}}{3}$ см.