Номер 35, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 73^\circ$, $\angle B = 77^\circ$, отрезок $BM$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BMC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 73^\circ$, $\angle B = 77^\circ$, отрезок $BM$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BMC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см.

Для решения задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($ \frac{a}{\sin A} = 2R $).

1. Найдем угол $A$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. $ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 77^\circ - 73^\circ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $.

2. Применим теорему синусов для треугольника $ABC$, чтобы найти длину стороны $BC$. Радиус описанной около него окружности $R_{ABC}$ равен 6 см. $ \frac{BC}{\sin \angle A} = 2R_{ABC} $ Отсюда выразим $BC$: $ BC = 2 \cdot R_{ABC} \cdot \sin \angle A = 2 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

3. Рассмотрим треугольник $BMC$. По условию, $BM$ — высота, проведенная к стороне $AC$, следовательно, угол $ \angle BMC = 90^\circ $. Это значит, что треугольник $BMC$ — прямоугольный.

4. Найдем радиус $R_{BMC}$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника $BMC$. Центр такой окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы. В треугольнике $BMC$ гипотенузой является сторона $BC$, так как она лежит напротив прямого угла. $ R_{BMC} = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3 $ см.

Этот же результат можно получить, применив теорему синусов для треугольника $BMC$: $ \frac{BC}{\sin \angle BMC} = 2R_{BMC} $ $ \frac{6}{\sin 90^\circ} = 2R_{BMC} $ $ \frac{6}{1} = 2R_{BMC} $ $ R_{BMC} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.