Номер 29, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. В треугольнике $ABC$ $BC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 15^\circ$. Найдите сторону $AB$.

29. В треугольнике ABC $BC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 15^\circ$.

Найдите сторону AB.

Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, мы можем найти величину угла $C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle C = 180^\circ - (120^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны $AB$. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для всех сторон и углов данного треугольника.

$\frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin \angle A}$

Выразим из этого соотношения искомую сторону $AB$:

$AB = \frac{BC \cdot \sin \angle C}{\sin \angle A}$

Подставим известные нам значения: $BC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 120^\circ$.

$AB = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

Нам известны значения синусов для этих углов:
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в формулу для $AB$:

$AB = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Сократим дробь, умножив числитель и знаменатель на 2, и сократив $\sqrt{3}$:

$AB = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.