Номер 27, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Сторона треугольника равна 30 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 24 см и 27 см. Найдите третью медиану треугольника.

27. Сторона треугольника равна 30 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 24 см и 27 см. Найдите третью медиану треугольника.

Пусть в заданном треугольнике сторона $a = 30$ см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны $m_b = 24$ см и $m_c = 27$ см. Требуется найти длину третьей медианы $m_a$.

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан как $O$.

Используя это свойство, найдем длины отрезков двух известных медиан от вершин до точки их пересечения:
Длина отрезка от вершины до центроида для медианы $m_b$ составляет $BO = \frac{2}{3} m_b = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см.
Длина отрезка от вершины до центроида для медианы $m_c$ составляет $CO = \frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$ см.

Рассмотрим треугольник $BOC$, образованный точкой пересечения медиан $O$ и концами стороны $a$. Стороны этого треугольника равны: $BO = 16$ см, $CO = 18$ см, $BC = a = 30$ см.

Продолжение медианы $m_a$ от точки $O$ до середины стороны $BC$ (обозначим ее $D$) является медианой треугольника $BOC$, проведенной из вершины $O$. Длина этого отрезка $OD$ составляет $\frac{1}{3}$ от длины всей медианы $m_a$, то есть $m_a = 3 \cdot OD$.

Найдем длину $OD$ по формуле для длины медианы, примененной к треугольнику $BOC$:
$OD^2 = \frac{2 \cdot BO^2 + 2 \cdot CO^2 - BC^2}{4}$
Подставим известные значения:
$OD^2 = \frac{2 \cdot 16^2 + 2 \cdot 18^2 - 30^2}{4} = \frac{2 \cdot 256 + 2 \cdot 324 - 900}{4}$
$OD^2 = \frac{512 + 648 - 900}{4} = \frac{1160 - 900}{4} = \frac{260}{4} = 65$.
Следовательно, $OD = \sqrt{65}$ см.

Теперь можем найти полную длину искомой третьей медианы $m_a$:
$m_a = 3 \cdot OD = 3\sqrt{65}$ см.

Ответ: $3\sqrt{65}$ см.