Номер 22, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

22. Стороны треугольника равны 8 см, 14 см и 11 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его среднего по величине угла.

22. Стороны треугольника равны 8 см, 14 см и 11 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его среднего по величине угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 8$ см, $b = 11$ см и $c = 14$ см.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сравним длины сторон: $8 < 11 < 14$. Следовательно, средний по величине угол лежит против стороны длиной 11 см. Нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины этого угла. Обозначим эту биссектрису $l_b$.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся формулой, которая связывает её с длинами сторон треугольника:$l_b^2 = ac - mn$,где $a$ и $c$ — стороны, между которыми проходит биссектриса ($a=8$ см и $c=14$ см), а $m$ и $n$ — отрезки, на которые биссектриса делит противолежащую сторону $b=11$ см.

Сначала найдем длины отрезков $m$ и $n$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$\frac{m}{n} = \frac{a}{c}$

Подставим известные значения:$\frac{m}{n} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$Отсюда получаем соотношение $m = \frac{4}{7}n$.

Так как биссектриса делит сторону $b$ на отрезки $m$ и $n$, их сумма равна длине этой стороны:$m + n = b = 11$ см.

Подставим выражение для $m$ в это уравнение:$\frac{4}{7}n + n = 11$$\frac{11}{7}n = 11$$n = 7$ см.

Теперь найдем $m$:$m = 11 - n = 11 - 7 = 4$ см.

Теперь, когда мы знаем длины отрезков $m$ и $n$, можем вычислить длину биссектрисы $l_b$:$l_b^2 = ac - mn = 8 \cdot 14 - 4 \cdot 7$$l_b^2 = 112 - 28$$l_b^2 = 84$$l_b = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Ответ: $2\sqrt{21}$ см.