Номер 19, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см, а одна из сторон на 10 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

19. Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см, а одна из сторон на 10 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает его стороны и диагонали: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон. Эта зависимость выражается формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

где $d_1$ и $d_2$ — диагонали параллелограмма, а $a$ и $b$ — его смежные стороны.

Согласно условию задачи, имеем:

$d_1 = 18$ см

$d_2 = 26$ см

Пусть одна сторона параллелограмма равна $a = x$ см, тогда другая сторона, которая на 10 см больше, будет равна $b = x + 10$ см.

Подставим все известные значения в формулу:

$18^2 + 26^2 = 2(x^2 + (x + 10)^2)$

Вычислим квадраты чисел в левой части и раскроем скобки в правой:

$324 + 676 = 2(x^2 + x^2 + 20x + 100)$

Упростим обе части уравнения:

$1000 = 2(2x^2 + 20x + 100)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$500 = 2x^2 + 20x + 100$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 20x + 100 - 500 = 0$

$2x^2 + 20x - 400 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 10x - 200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -20$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина одной стороны параллелограмма равна 10 см.

Найдем длину второй стороны:

$b = x + 10 = 10 + 10 = 20$ см.

Итак, стороны параллелограмма равны 10 см и 20 см.

Ответ: 10 см и 20 см.