Номер 16, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. Две стороны треугольника равны 9 см и 21 см, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

16. Две стороны треугольника равны $9 \text{ см}$ и $21 \text{ см}$, а угол, противолежащий большей из них, — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию, две стороны равны 9 см и 21 см. Пусть $a = 9$ см, а $b = 21$ см. Третью, неизвестную сторону, обозначим как $c$.

Угол, противолежащий большей из двух известных сторон (то есть стороне $b = 21$ см), равен $120^\circ$. Обозначим этот угол как $\beta$. Таким образом, $\beta = 120^\circ$.

Теорема косинусов для стороны $b$ записывается следующим образом:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\beta)$

Подставим в эту формулу известные значения:

$21^2 = 9^2 + c^2 - 2 \cdot 9 \cdot c \cdot \cos(120^\circ)$

Вычислим значения квадратов и косинуса угла:

$21^2 = 441$

$9^2 = 81$

$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -0.5$

Теперь подставим вычисленные значения обратно в уравнение:

$441 = 81 + c^2 - 2 \cdot 9 \cdot c \cdot (-0.5)$

$441 = 81 + c^2 + 9c$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $c$:

$c^2 + 9c + 81 - 441 = 0$

$c^2 + 9c - 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 81 + 1440 = 1521$

Найдем корни уравнения по формуле $c = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$

$c_1 = \frac{-9 + 39}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$c_2 = \frac{-9 - 39}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной, корень $c_2 = -24$ не является решением задачи. Следовательно, длина третьей стороны треугольника равна 15 см.

Ответ: 15 см.