Номер 10, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Диагонали параллелограмма равны 6 см и $4\sqrt{3}$ см, а угол между ними равен $30^{\circ}$. Найдите стороны параллелограмма.

10. Диагонали параллелограмма равны 6 см и $4\sqrt{3}$ см, а угол между ними равен $30^\circ$. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм, диагонали которого $d_1 = 6$ см и $d_2 = 4\sqrt{3}$ см. Угол между диагоналями равен $30^{\circ}$. Обозначим стороны параллелограмма как $a$ и $b$.

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре треугольника, в каждом из которых две стороны являются половинами диагоналей, а третья сторона — одной из сторон параллелограмма. Длины половин диагоналей равны:
$\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см;
$\frac{d_2}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Углы между половинами диагоналей в точке их пересечения равны заданному углу $30^{\circ}$ и смежному с ним углу $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. Для нахождения сторон параллелограмма $a$ и $b$ применим теорему косинусов к двум соседним треугольникам, образованным половинами диагоналей.

Найдем первую сторону $a$, используя треугольник с углом $30^{\circ}$ между сторонами, равными половинам диагоналей:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 9 + 12 - 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^2 = 21 - 6 \cdot 3 = 21 - 18 = 3$
$a = \sqrt{3}$ см.

Найдем вторую сторону $b$, используя треугольник с углом $150^{\circ}$ между сторонами, равными половинам диагоналей:
$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(150^{\circ})$
Учитывая, что $\cos(150^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
$b^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$b^2 = 9 + 12 + 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$b^2 = 21 + 6 \cdot 3 = 21 + 18 = 39$
$b = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см и $\sqrt{39}$ см.