Номер 7, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Найдите сторону $BC$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 2$ см, $\angle A = 30^{\circ}$;

2) $AB = 4$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 120^{\circ}$.

7. Найдите сторону $BC$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 2$ см, $\angle A = 30^\circ$;

2) $AB = 4$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 120^\circ$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов. Для треугольника $ABC$ она записывается следующим образом для стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

1) Дано: $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 2$ см, $\angle A = 30^\circ$.

Подставим данные значения в формулу теоремы косинусов:

$BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ)$

Теперь произведем вычисления. Учитывая, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$BC^2 = (16 \cdot 3) + 4 - 16\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 = 48 + 4 - \frac{16 \cdot 3}{2}$

$BC^2 = 52 - \frac{48}{2}$

$BC^2 = 52 - 24$

$BC^2 = 28$

Чтобы найти длину стороны $BC$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$BC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см.

2) Дано: $AB = 4$ см, $AC = 8$ см, $\angle A = 120^\circ$.

Подставим данные значения в формулу теоремы косинусов:

$BC^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

Произведем вычисления. Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$:

$BC^2 = 16 + 64 - 64 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 16 + 64 + 32$

$BC^2 = 80 + 32$

$BC^2 = 112$

Теперь найдем длину стороны $BC$, извлекая квадратный корень:

$BC = \sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.