Номер 306, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Прямая, параллельная медиане $BM$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Площади треугольника $ADE$ и четырёхугольника $DBCE$ относятся как $1 : 5$. Найдите отрезок $DE$, если $BM = 6$ см.

306. Прямая, параллельная медиане $BM$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Площади треугольника $ADE$ и четырёхугольника $DBCE$ относятся как $1:5$. Найдите отрезок $DE$, если $BM = 6$ см.

По условию задачи, $BM$ – медиана треугольника $ABC$, следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC$. Прямая $DE$ параллельна медиане $BM$ ($DE \parallel BM$) и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно.

Площадь треугольника $ADE$ относится к площади четырехугольника $DBCE$ как $1:5$. Обозначим площадь треугольника $ADE$ как $S_{ADE} = S$. Тогда площадь четырехугольника $DBCE$ равна $S_{DBCE} = 5S$.

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей треугольника $ADE$ и четырехугольника $DBCE$: $S_{ABC} = S_{ADE} + S_{DBCE} = S + 5S = 6S$.

Медиана $BM$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника равной площади (равновеликих), так как у них общее основание $AC$ (разделенное пополам) и общая высота из вершины $B$. Таким образом: $S_{ABM} = S_{CBM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

Подставим значение $S_{ABC}$: $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 6S = 3S$.

Теперь рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABM$.
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников ($\angle DAE = \angle BAM$).
2. Поскольку $DE \parallel BM$, углы $\angle ADE$ и $\angle ABM$ являются соответственными при параллельных прямых $DE$ и $BM$ и секущей $AB$. Следовательно, $\angle ADE = \angle ABM$.

По двум равным углам треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABM$ ($\triangle ADE \sim \triangle ABM$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответствующих сторон: $\frac{S_{ADE}}{S_{ABM}} = \left(\frac{DE}{BM}\right)^2$.

Подставим известные значения площадей: $\frac{S}{3S} = \left(\frac{DE}{BM}\right)^2$.

$\frac{1}{3} = \left(\frac{DE}{BM}\right)^2$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\frac{DE}{BM} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Отсюда выразим $DE$: $DE = \frac{BM}{\sqrt{3}}$.

По условию $BM = 6$ см. Подставим это значение в формулу: $DE = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.