Номер 304, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 7 : 5$, а площадь треугольника $AED$ равна на $98 \text{ см}^2$.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 7 : 5$, а площадь треугольника $AED$ равна $98 \text{ см}^2$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AED$ и $\triangle BEC$.

Так как $ABCD$ — трапеция, то её основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Поскольку $AD \parallel BC$, то:

• $\angle EAD = \angle EBC$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$).
• $\angle EDA = \angle ECB$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DE$).
• $\angle E$ — общий для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $\triangle AED$ подобен треугольнику $\triangle BEC$ по двум углам (или по трем).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:

$k = \frac{AD}{BC}$

По условию задачи дано отношение сторон $AD : BC = 7 : 5$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{7}{5}$.

Тогда отношение площадей этих треугольников равно:

$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle BEC}} = k^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}$

Из условия мы знаем площадь треугольника $\triangle AED$: $S_{\triangle AED} = 98 \text{ см}^2$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $\triangle BEC$:

$S_{\triangle BEC} = \frac{S_{\triangle AED}}{\frac{49}{25}} = \frac{98}{\frac{49}{25}} = 98 \cdot \frac{25}{49} = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см}^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна разности площадей треугольника $\triangle AED$ и треугольника $\triangle BEC$:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AED} - S_{\triangle BEC} = 98 - 50 = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.