Номер 298, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

298. Высота одного равностороннего треугольника равна стороне другого. Как относятся их площади?

298. Высота одного равностороннего треугольника равна стороне другого. Как относятся их площади?

Пусть есть два равносторонних треугольника. Обозначим площадь, сторону и высоту первого треугольника как $S_1$, $a_1$ и $h_1$ соответственно. Аналогично, для второго треугольника обозначим площадь, сторону и высоту как $S_2$, $a_2$ и $h_2$.

По условию задачи, высота первого треугольника равна стороне второго:

$h_1 = a_2$

Площадь равностороннего треугольника можно выразить как через его сторону $a$, так и через высоту $h$.
Формула площади через сторону: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Формула площади через высоту: $S = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}$.

Чтобы найти соотношение площадей, выразим площадь первого треугольника через его высоту $h_1$, а площадь второго — через его сторону $a_2$.

$S_1 = \frac{h_1^2\sqrt{3}}{3}$

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}$

Теперь найдем отношение их площадей $\frac{S_1}{S_2}$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{h_1^2\sqrt{3}}{3}}{\frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}}$

Так как по условию $h_1 = a_2$, мы можем заменить $a_2$ на $h_1$ в знаменателе дроби:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{h_1^2\sqrt{3}}{3}}{\frac{h_1^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{h_1^2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4}{h_1^2\sqrt{3}} = \frac{4}{3}$

Таким образом, отношение площади первого треугольника (чья высота была взята) к площади второго треугольника (чья сторона была взята) равно 4 к 3.

Ответ: Их площади относятся как 4:3.