Номер 294, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Отметьте точки $A$ и $B$. Найдите такую точку $O$, чтобы точка $B$ была образом точки $A$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

294. Отметьте точки $A$ и $B$. Найдите такую точку $O$, чтобы точка $B$ была образом точки $A$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

По определению гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$, точка $B$ является образом точки $A$, если выполняется векторное равенство:

$\vec{OB} = k \cdot \vec{OA}$

В условии задачи дан коэффициент гомотетии $k = 2$. Подставим это значение в формулу:

$\vec{OB} = 2 \cdot \vec{OA}$

Это векторное равенство означает следующее:

1. Точки $O$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой (коллинеарны).
2. Поскольку коэффициент $k = 2 > 0$, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $O$. Из этого следует, что точка $A$ находится между точками $O$ и $B$.
3. Длина вектора $\vec{OB}$ в 2 раза больше длины вектора $\vec{OA}$. То есть, расстояние от центра $O$ до точки $B$ вдвое больше расстояния от центра $O$ до точки $A$: $|OB| = 2|OA|$.

Так как точка $A$ лежит на отрезке $OB$, то длина отрезка $OB$ равна сумме длин отрезков $OA$ и $AB$:

$|OB| = |OA| + |AB|$

Теперь мы можем составить уравнение, используя два выражения для $|OB|$:

$2|OA| = |OA| + |AB|$

Вычтем $|OA|$ из обеих частей равенства:

$|OA| = |AB|$

Таким образом, мы выяснили, что искомая точка $O$ должна удовлетворять двум условиям:

• Она должна лежать на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.
• Расстояние от $O$ до $A$ должно быть равно расстоянию от $A$ до $B$, причем точка $A$ должна лежать между $O$ и $B$.

Это означает, что точка $A$ является серединой отрезка $OB$. Для нахождения точки $O$ необходимо на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, отложить от точки $A$ отрезок $AO$, равный по длине отрезку $AB$, в направлении, противоположном лучу $AB$. Конец отложенного отрезка и будет искомой точкой $O$.

Ответ: Искомая точка $O$ — это такая точка на прямой $AB$, что точка $A$ является серединой отрезка $OB$.