Номер 293, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

293. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 2,5$;

2) $k = -1$.

293. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 2,5$

2) $k = -1$

1) k = 2,5

Построение выполняется в следующем порядке. Сначала строим произвольный треугольник $ABC$. Затем находим центр гомотетии $O$, который является точкой пересечения медиан треугольника. Для этого находим середину $M_a$ стороны $BC$ и проводим медиану $AM_a$. Далее находим середину $M_b$ стороны $AC$ и проводим медиану $BM_b$. Точка пересечения $O$ этих двух медиан и есть искомый центр гомотетии.
Теперь необходимо построить образы вершин $A$, $B$ и $C$. Так как коэффициент гомотетии $k = 2,5$ положителен, то образ $A'$ вершины $A$ лежит на луче $OA$. Откладываем на этом луче от точки $O$ отрезок $OA'$, длина которого равна $2,5 \cdot |OA|$. Векторно это записывается как $\vec{OA'} = 2,5 \cdot \vec{OA}$. Аналогично строим точку $B'$ на луче $OB$ так, чтобы $|OB'| = 2,5 \cdot |OB|$, и точку $C'$ на луче $OC$ так, чтобы $|OC'| = 2,5 \cdot |OC|$.
В завершение соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками. Полученный треугольник $A'B'C'$ является искомым.
Ответ: Искомый треугольник $A'B'C'$ строится путем нахождения точки пересечения медиан $O$ исходного треугольника $ABC$ и последующего применения гомотетии к вершинам $A, B, C$ с центром $O$ и коэффициентом $k = 2,5$.

2) k = -1

Как и в первом случае, сначала строим треугольник $ABC$ и находим его центр гомотетии $O$ как точку пересечения его медиан.
Гомотетия с коэффициентом $k = -1$ является центральной симметрией относительно центра гомотетии $O$. Поскольку коэффициент отрицательный, образ $A'$ вершины $A$ будет лежать на прямой $AO$, но по другую сторону от точки $O$ на том же расстоянии. Таким образом, для построения точки $A'$ необходимо провести прямую через $A$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок $OA'$, равный отрезку $OA$, так чтобы $O$ была серединой отрезка $AA'$. Векторное равенство для этого преобразования: $\vec{OA'} = -\vec{OA}$.
Аналогично строим образы других вершин: точка $B'$ строится на прямой $BO$ так, что $O$ — середина отрезка $BB'$, а точка $C'$ строится на прямой $CO$ так, что $O$ — середина отрезка $CC'$.
Соединив точки $A'$, $B'$, $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$. Он будет конгруэнтен (равен) исходному треугольнику $ABC$.
Ответ: Искомый треугольник $A'B'C'$ является результатом центральной симметрии треугольника $ABC$ относительно точки пересечения его медиан.