Номер 299, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Стороны двух правильных треугольников относятся как $4:7$, а площадь большего из них равна $98 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего треугольника.

299. Стороны двух правильных треугольников относятся как $4 : 7$, а площадь большего из них равна $98 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего треугольника.

Обозначим стороны меньшего и большего правильных треугольников как $a_1$ и $a_2$, а их площади как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

Согласно условию, стороны треугольников относятся как 4:7. Это означает, что отношение стороны меньшего треугольника к стороне большего равно $\frac{4}{7}$. $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7} $$

Все правильные (равносторонние) треугольники подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k$). Коэффициент подобия для этих треугольников равен отношению их сторон. $$ \frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 $$

Площадь большего треугольника известна: $S_2 = 98$ см². Подставим известные значения в формулу отношения площадей: $$ \frac{S_1}{98} = \left(\frac{4}{7}\right)^2 $$

Теперь найдем площадь меньшего треугольника $S_1$, решив полученное уравнение: $$ \frac{S_1}{98} = \frac{4^2}{7^2} = \frac{16}{49} $$ $$ S_1 = 98 \cdot \frac{16}{49} $$ $$ S_1 = \frac{98}{49} \cdot 16 $$ Так как $98 \div 49 = 2$, получаем: $$ S_1 = 2 \cdot 16 = 32 $$ Таким образом, площадь меньшего треугольника составляет 32 см².

Ответ: 32 см².