Номер 303, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая, параллельная стороне $BC$, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

303. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая, параллельная стороне $BC$, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна 6 см. Проведена прямая, параллельная $BC$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника, — это отрезок $DE$.

Прямая $DE$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры: треугольник $ADE$ и трапецию $DBCE$. Это означает, что их площади равны: $S_{ADE} = S_{DBCE}$.

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей этих двух фигур: $$ S_{ABC} = S_{ADE} + S_{DBCE} $$ Поскольку $S_{ADE} = S_{DBCE}$, мы можем записать: $$ S_{ABC} = S_{ADE} + S_{ADE} = 2 \cdot S_{ADE} $$ Следовательно, отношение площади треугольника $ADE$ к площади треугольника $ABC$ равно: $$ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} $$

Так как прямая $DE$ параллельна стороне $BC$, то треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: угол $A$ — общий, а углы $\angle ADE$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон: $$ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{DE}{BC}\right)^2 $$

Подставим известные значения в это равенство: $$ \frac{1}{2} = \left(\frac{DE}{6}\right)^2 $$

Чтобы найти отношение сторон, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $$ \frac{DE}{6} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Теперь выразим длину отрезка $DE$: $$ DE = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} $$

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.