Номер 305, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Точка $M$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении $3 : 5$, считая от точки $B$. Отрезки $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $APD$, если площадь треугольника $BPM$ равна $18 \text{ см}^2$.

305. Точка $M$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении $3 : 5$, считая от точки $B$. Отрезки $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $APD$, если площадь треугольника $BPM$ равна $18$ см$^2$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AD = BC = a$.

Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 3 : 5$. Это означает, что вся сторона $BC$ состоит из $3+5=8$ равных частей. Длина отрезка $BM$ составляет 3 такие части. Следовательно, $BM = \frac{3}{3+5} BC = \frac{3}{8} BC = \frac{3}{8} a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle MPB$. Так как $ABCD$ – квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, то и $AD \parallel BM$.

В треугольниках $\triangle APD$ и $\triangle MPB$:

1. Угол $\angle PDA$ и угол $\angle PBM$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $BD$.

2. Угол $\angle PAD$ и угол $\angle PMB$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $AM$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то по первому признаку подобия треугольников $\triangle APD \sim \triangle MPB$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{AD}{MB} = \frac{a}{\frac{3}{8}a} = \frac{8}{3}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия: $\frac{S_{APD}}{S_{BPM}} = k^2 = (\frac{8}{3})^2 = \frac{64}{9}$.

По условию задачи площадь треугольника $BPM$ равна 18 см², то есть $S_{BPM} = 18$ см². Найдем площадь треугольника $APD$: $S_{APD} = S_{BPM} \cdot \frac{64}{9} = 18 \cdot \frac{64}{9} = \frac{18}{9} \cdot 64 = 2 \cdot 64 = 128$ см².

Ответ: 128 см².