Номер 6, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\cos 123^{\circ}}{\cos 57^{\circ}} - \frac{\operatorname{tg} 141^{\circ}}{\operatorname{tg} 39^{\circ}}$

2) $\frac{\sin 18^{\circ}}{\sin 162^{\circ}} + \frac{\operatorname{ctg} 103^{\circ}}{\operatorname{ctg} 77^{\circ}}$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $ \frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\text{tg } 141^\circ}{\text{tg } 39^\circ} $;

2) $ \frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\text{ctg } 103^\circ}{\text{ctg } 77^\circ} $.

Рассмотрим выражение: $\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\text{tg} 141^\circ}{\text{tg} 39^\circ}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов, связанных с основными углами ($90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ$), через функции исходного угла.

Упростим первую дробь: $\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ}$.

Заметим, что $123^\circ + 57^\circ = 180^\circ$. Отсюда $123^\circ = 180^\circ - 57^\circ$.
Применим формулу приведения для косинуса: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.
Получаем: $\cos 123^\circ = \cos(180^\circ - 57^\circ) = -\cos 57^\circ$.

Подставим полученное значение в первую дробь:
$\frac{-\cos 57^\circ}{\cos 57^\circ} = -1$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{\text{tg} 141^\circ}{\text{tg} 39^\circ}$.

Заметим, что $141^\circ + 39^\circ = 180^\circ$. Отсюда $141^\circ = 180^\circ - 39^\circ$.
Применим формулу приведения для тангенса: $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg} \alpha$.
Получаем: $\text{tg} 141^\circ = \text{tg}(180^\circ - 39^\circ) = -\text{tg} 39^\circ$.

Подставим полученное значение во вторую дробь:
$\frac{-\text{tg} 39^\circ}{\text{tg} 39^\circ} = -1$.

Теперь вычислим значение исходного выражения, подставив найденные значения дробей:
$\frac{\cos 123^\circ}{\cos 57^\circ} - \frac{\text{tg} 141^\circ}{\text{tg} 39^\circ} = (-1) - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Ответ: 0

Рассмотрим выражение: $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\text{ctg} 103^\circ}{\text{ctg} 77^\circ}$.

Для упрощения этого выражения также воспользуемся формулами приведения.

Упростим первую дробь: $\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ}$.

Заметим, что $18^\circ + 162^\circ = 180^\circ$. Отсюда $162^\circ = 180^\circ - 18^\circ$.
Применим формулу приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
Получаем: $\sin 162^\circ = \sin(180^\circ - 18^\circ) = \sin 18^\circ$.

Подставим полученное значение в первую дробь:
$\frac{\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 1$.

Теперь упростим вторую дробь: $\frac{\text{ctg} 103^\circ}{\text{ctg} 77^\circ}$.

Заметим, что $103^\circ + 77^\circ = 180^\circ$. Отсюда $103^\circ = 180^\circ - 77^\circ$.
Применим формулу приведения для котангенса: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$.
Получаем: $\text{ctg} 103^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 77^\circ) = -\text{ctg} 77^\circ$.

Подставим полученное значение во вторую дробь:
$\frac{-\text{ctg} 77^\circ}{\text{ctg} 77^\circ} = -1$.

Теперь вычислим значение исходного выражения, подставив найденные значения дробей:
$\frac{\sin 18^\circ}{\sin 162^\circ} + \frac{\text{ctg} 103^\circ}{\text{ctg} 77^\circ} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0$.

Ответ: 0