Номер 5, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите значение выражения:

1) $\cos 120^\circ \sin 135^\circ \operatorname{ctg} 150^\circ$

2) $4\operatorname{tg}^2 120^\circ + 4\sin^2 120^\circ - 3\cos 90^\circ \operatorname{ctg} 100^\circ$

5. Найдите значение выражения:

1) $ \cos 120^\circ \sin 135^\circ \cot 150^\circ $;

2) $ 4 \tan^2 120^\circ + 4 \sin^2 120^\circ - 3 \cos 90^\circ \cot 100^\circ $.

1) cos 120° sin 135° ctg 150°

Для решения данного выражения необходимо найти значения каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения. Углы 120°, 135° и 150° находятся во второй четверти.

1. Найдем значение $ \cos{120°} $. Косинус во второй четверти отрицателен.
$ \cos{120°} = \cos(180° - 60°) = -\cos{60°} = -\frac{1}{2} $

2. Найдем значение $ \sin{135°} $. Синус во второй четверти положителен.
$ \sin{135°} = \sin(180° - 45°) = \sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

3. Найдем значение $ \text{ctg}{150°} $. Котангенс во второй четверти отрицателен.
$ \text{ctg}{150°} = \text{ctg}(180° - 30°) = -\text{ctg}{30°} = -\sqrt{3} $

4. Теперь перемножим полученные значения:
$ \cos{120°} \sin{135°} \text{ctg}{150°} = (-\frac{1}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $.

2) 4tg² 120° + 4sin² 120° - 3cos 90° ctg 100°

Рассмотрим выражение по частям.

1. Сначала обратим внимание на последнее слагаемое: $ - 3\cos{90°} \text{ctg}{100°} $.
Известно, что значение $ \cos{90°} = 0 $.
Следовательно, все произведение равно нулю: $ 3\cos{90°} \text{ctg}{100°} = 3 \cdot 0 \cdot \text{ctg}{100°} = 0 $.

2. Таким образом, выражение упрощается до: $ 4\text{tg}²{120°} + 4\sin²{120°} $.

3. Найдем значение $ \text{tg}{120°} $. Угол 120° находится во второй четверти, где тангенс отрицателен.
$ \text{tg}{120°} = \text{tg}(180° - 60°) = -\text{tg}{60°} = -\sqrt{3} $
Тогда $ \text{tg}²{120°} = (-\sqrt{3})² = 3 $.

4. Найдем значение $ \sin{120°} $. Угол 120° находится во второй четверти, где синус положителен.
$ \sin{120°} = \sin(180° - 60°) = \sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Тогда $ \sin²{120°} = (\frac{\sqrt{3}}{2})² = \frac{3}{4} $.

5. Подставим найденные значения в упрощенное выражение:
$ 4\text{tg}²{120°} + 4\sin²{120°} = 4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{3}{4} = 12 + 3 = 15 $.

Ответ: 15.