Номер 3, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите:

1) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{2}{3} $ и $ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ $;

2) $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{1}{5} $;

3) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{5}{6} $.

3. Найдите:

1) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ и $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$;

2) $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{1}{5}$;

3) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{5}{6}$.

Для решения всех пунктов будем использовать основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

1) cos α, если sin α = 2/3 и 0° ≤ α ≤ 90°
Из основного тригонометрического тождества выразим $ \cos\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $
Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{2}{3} $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9-4}{9} = \frac{5}{9} $
Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $.
По условию, угол $ \alpha $ находится в диапазоне $ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ $, что соответствует первой четверти. В первой четверти косинус имеет положительное значение. Следовательно, выбираем знак «+».
$ \cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{3} $.

2) sin α, если cos α = -1/5
Из основного тригонометрического тождества выразим $ \sin\alpha $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $
Подставим известное значение $ \cos\alpha = -\frac{1}{5} $:
$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25-1}{25} = \frac{24}{25} $
Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 6}}{5} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} $.
Так как четверть, в которой находится угол $ \alpha $, не указана, возможны два значения для синуса (положительное во второй четверти и отрицательное в третьей, где косинус отрицателен).
Ответ: $ \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} $.

3) cos α, если sin α = 5/6
Из основного тригонометрического тождества выразим $ \cos\alpha $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $
Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{5}{6} $:
$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36-25}{36} = \frac{11}{36} $
Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{11}{36}} = \pm\frac{\sqrt{11}}{6} $.
Так как четверть, в которой находится угол $ \alpha $, не указана, возможны два значения для косинуса (положительное в первой четверти и отрицательное во второй, где синус положителен).
Ответ: $ \pm\frac{\sqrt{11}}{6} $.