Номер 11, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а синус угла между ними равен $ \frac{4\sqrt{3}}{7} $. Найдите третью сторону треугольника.

11. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а синус угла между ними равен $\frac{4\sqrt{3}}{7}$. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Пусть известные стороны треугольника равны $a = 7$ см и $b = 8$ см, а угол между ними — $\gamma$. Третью, неизвестную сторону, обозначим как $c$.

Теорема косинусов гласит:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

По условию задачи, нам известен синус угла $\gamma$: $\sin(\gamma) = \frac{4\sqrt{3}}{7}$. Чтобы применить теорему косинусов, необходимо найти косинус этого угла. Для этого используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.

Выразим из него $\cos^2(\gamma)$:

$\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)$

Подставим известное значение синуса:

$\cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 3}{49} = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$

Отсюда находим два возможных значения для косинуса угла:

$\cos(\gamma) = \pm\sqrt{\frac{1}{49}} = \pm\frac{1}{7}$

Поскольку угол в треугольнике может быть как острым (и его косинус будет положительным), так и тупым (и его косинус будет отрицательным), мы должны рассмотреть оба этих случая.

Случай 1: Угол $\gamma$ острый

В этом случае $\cos(\gamma) = \frac{1}{7}$. Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{7}$

$c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 8$

$c^2 = 113 - 16 = 97$

$c_1 = \sqrt{97}$ см

Случай 2: Угол $\gamma$ тупой

В этом случае $\cos(\gamma) = -\frac{1}{7}$. Подставим это значение в формулу теоремы косинусов:

$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)$

$c^2 = 49 + 64 + 2 \cdot 8$

$c^2 = 113 + 16 = 129$

$c_2 = \sqrt{129}$ см

Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как угол между заданными сторонами может быть как острым, так и тупым.

Ответ: $\sqrt{97}$ см или $\sqrt{129}$ см.