Номер 12, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на $3\sqrt{2}$ см и на 4 см от вершин $A$ и $C$ соответственно. Найдите сторону $AC$, если $\angle B = 90^\circ$.

12. Центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, удалён на $3\sqrt{2}$ см и на 4 см от вершин $A$ и $C$ соответственно. Найдите сторону $AC$, если $\angle B = 90^\circ$.

Пусть $I$ — центр вписанной окружности в прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$). Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, $AI$ и $CI$ — биссектрисы углов $A$ и $C$ соответственно.

По условию задачи, расстояния от центра вписанной окружности до вершин $A$ и $C$ равны $IA = 3\sqrt{2}$ см и $IC = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $AIC$. Углы этого треугольника равны:

$\angle IAC = \frac{\angle A}{2}$

$\angle ICA = \frac{\angle C}{2}$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $ABC$ равна $90^\circ$:

$\angle A + \angle C = 90^\circ$

Сумма углов в треугольнике $AIC$ равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AIC$:

$\angle AIC = 180^\circ - (\angle IAC + \angle ICA) = 180^\circ - (\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2}) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle C}{2}$

Подставим значение суммы углов $\angle A + \angle C = 90^\circ$:

$\angle AIC = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Теперь мы знаем две стороны ($IA$ и $IC$) и угол между ними ($\angle AIC$) в треугольнике $AIC$. Мы можем найти третью сторону $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = IA^2 + IC^2 - 2 \cdot IA \cdot IC \cdot \cos(\angle AIC)$

Подставим известные значения:

$AC^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AC^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$AC^2 = 18 + 16 + \frac{24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}$

$AC^2 = 34 + \frac{24 \cdot 2}{2}$

$AC^2 = 34 + 24$

$AC^2 = 58$

$AC = \sqrt{58}$ см.

Ответ: $\sqrt{58}$ см.