Номер 14, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $K$ и $F$, что $BK = 5$ см, $FC = 6$ см. Найдите отрезок $KF$, если $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $AC = 7$ см.

14. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $K$ и $F$, что $BK = 5$ см, $FC = 6$ см. Найдите отрезок $KF$, если $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $AC = 7$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи нам известны длины всех его сторон: $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $AC = 7$ см. Точка $K$ лежит на стороне $AB$, а точка $F$ — на стороне $BC$. Это означает, что треугольник $KBF$ является частью треугольника $ABC$ и имеет с ним общий угол $\angle B$.

Сначала найдем длины сторон треугольника $KBF$, прилежащих к углу $\angle B$.
Длина стороны $BK$ дана в условии: $BK = 5$ см.
Точка $F$ лежит на отрезке $BC$, поэтому длина стороны $BF$ вычисляется как разность длин отрезков $BC$ и $FC$:
$BF = BC - FC = 9 - 6 = 3$ см.

Теперь, чтобы найти длину стороны $KF$, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника $KBF$. Для этого нам нужно знать значение косинуса угла $\angle B$. Найдем его из треугольника $ABC$, для которого известны все три стороны, также по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Выразим из этой формулы $\cos(\angle B)$:

$\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$

Подставим известные значения длин сторон $ABC$:

$\cos(\angle B) = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{145 - 49}{144} = \frac{96}{144}$

Сократим полученную дробь на 48:

$\cos(\angle B) = \frac{2}{3}$

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику $KBF$, чтобы найти длину стороны $KF$:

$KF^2 = BK^2 + BF^2 - 2 \cdot BK \cdot BF \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные нам значения $BK = 5$, $BF = 3$ и $\cos(\angle B) = \frac{2}{3}$:

$KF^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3}$

$KF^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 2$

$KF^2 = 34 - 20$

$KF^2 = 14$

Следовательно, длина отрезка $KF$ равна:

$KF = \sqrt{14}$ см.

Ответ: $\sqrt{14}$ см.