Номер 21, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $BC = 12$ см, $CD = 9$ см, $AD = 16$ см, $\cos D = \frac{1}{8}$. Найдите сторону $AB$ трапеции.

21. В трапеции $ABCD (AD \parallel BC)$ $BC = 12$ см, $CD = 9$ см,

$AD = 16$ см, $\cos D = \frac{1}{8}$. Найдите сторону $AB$ трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $AD \parallel BC$, $BC = 12$ см, $CD = 9$ см, $AD = 16$ см, $\cos D = \frac{1}{8}$.

Для нахождения стороны $AB$ проведем высоты $CH$ и $BK$ из вершин $C$ и $B$ на основание $AD$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$ (так как $CH$ — высота, $\angle CHD = 90^\circ$).

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos D = \frac{HD}{CD}$

Найдем длину отрезка $HD$:

$HD = CD \cdot \cos D = 9 \cdot \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$ см.

Теперь найдем высоту $CH$ по теореме Пифагора:

$CH^2 = CD^2 - HD^2$

$CH^2 = 9^2 - \left(\frac{9}{8}\right)^2 = 81 - \frac{81}{64} = 81 \left(1 - \frac{1}{64}\right) = 81 \cdot \frac{63}{64}$

$CH = \sqrt{\frac{81 \cdot 63}{64}} = \frac{9\sqrt{63}}{8} = \frac{9\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{7}}{8} = \frac{27\sqrt{7}}{8}$ см.

2. Так как $AD \parallel BC$ и $CH, BK$ — высоты, то четырехугольник $KBCH$ является прямоугольником. Следовательно, $BK = CH = \frac{27\sqrt{7}}{8}$ см и $KH = BC = 12$ см.

3. Отрезок $AD$ состоит из трех частей: $AK$, $KH$ и $HD$.

$AD = AK + KH + HD$

Найдем длину отрезка $AK$:

$AK = AD - KH - HD = 16 - 12 - \frac{9}{8} = 4 - \frac{9}{8} = \frac{32 - 9}{8} = \frac{23}{8}$ см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$ (так как $BK$ — высота, $\angle BKA = 90^\circ$).

По теореме Пифагора найдем сторону $AB$:

$AB^2 = AK^2 + BK^2$

$AB^2 = \left(\frac{23}{8}\right)^2 + \left(\frac{27\sqrt{7}}{8}\right)^2 = \frac{529}{64} + \frac{729 \cdot 7}{64} = \frac{529 + 5103}{64} = \frac{5632}{64}$

Выполним деление: $5632 \div 64 = 88$.

$AB^2 = 88$

$AB = \sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22}$ см.

Ответ: $2\sqrt{22}$ см.