Номер 25, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Стороны треугольника равны $3\sqrt{3}$ см и 4 см, а угол между ними — $150^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

25. Стороны треугольника равны $3\sqrt{3}$ см и 4 см, а угол между ними — $150^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

Пусть стороны треугольника равны $a = 3\sqrt{3}$ см и $b = 4$ см, а угол между ними $\gamma = 150^{\circ}$. Необходимо найти медиану $m_c$, проведенную к третьей стороне $c$.

Для решения задачи удобно достроить исходный треугольник до параллелограмма. Пусть дан треугольник $ABC$, где $AC = 3\sqrt{3}$, $BC = 4$, и $\angle C = 150^{\circ}$. Достроим его до параллелограмма $ACBD$. В этом параллелограмме диагональ $CD$ проходит через середину стороны $AB$ (третьей стороны исходного треугольника). Таким образом, искомая медиана, проведенная из вершины $C$, является половиной диагонали $CD$. Обозначим длину медианы как $m$, тогда $CD = 2m$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle ACB + \angle CBD = 180^{\circ}$. Отсюда можем найти угол $\angle CBD$:

$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. В нем известны две стороны $BC = 4$ см, $BD = AC = 3\sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle CBD = 30^{\circ}$. Мы можем найти длину третьей стороны $CD$ по теореме косинусов:

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(\angle CBD)$

Подставим известные значения в формулу. Учтем, что $CD = 2m$ и $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(2m)^2 = 4^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ})$

Выполним вычисления:

$4m^2 = 16 + (9 \cdot 3) - 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$4m^2 = 16 + 27 - 12 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$4m^2 = 43 - 12 \cdot 3$

$4m^2 = 43 - 36$

$4m^2 = 7$

Из этого уравнения находим квадрат длины медианы:

$m^2 = \frac{7}{4}$

Теперь найдем длину медианы, извлекая квадратный корень:

$m = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Таким образом, длина медианы треугольника, проведенной к его третьей стороне, составляет $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.