Номер 20, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = AD = 13$ см, $BC = 4$ см, $CD = 14$ см. Найдите диагональ $AC$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = AD = 13$ см, $BC = 4$ см, $CD = 14$ см. Найдите диагональ $AC$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Поскольку около четырехугольника ABCD можно описать окружность, он является вписанным в эту окружность. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Из этого свойства следует важное соотношение для косинусов этих углов: $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Диагональ AC делит четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Мы можем применить теорему косинусов для каждого из этих треугольников, чтобы выразить квадрат длины диагонали AC.

1. Для треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения $AB = 13$ см и $BC = 4$ см:

$AC^2 = 13^2 + 4^2 - 2 \cdot 13 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 169 + 16 - 104 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 185 - 104 \cdot \cos(\angle B)$

2. Для треугольника $ADC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения $AD = 13$ см и $CD = 14$ см:

$AC^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 169 + 196 - 364 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 365 - 364 \cdot \cos(\angle D)$

Теперь заменим $\cos(\angle D)$ на $-\cos(\angle B)$ в последнем выражении:

$AC^2 = 365 - 364 \cdot (-\cos(\angle B))$

$AC^2 = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

Мы получили два выражения для $AC^2$. Приравняем их, чтобы найти значение $\cos(\angle B)$:

$185 - 104 \cdot \cos(\angle B) = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

$364 \cdot \cos(\angle B) + 104 \cdot \cos(\angle B) = 185 - 365$

$468 \cdot \cos(\angle B) = -180$

$\cos(\angle B) = -\frac{180}{468}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 36:

$\cos(\angle B) = -\frac{5 \cdot 36}{13 \cdot 36} = -\frac{5}{13}$

Наконец, подставим найденное значение $\cos(\angle B)$ в любое из выражений для $AC^2$. Воспользуемся первым:

$AC^2 = 185 - 104 \cdot (-\frac{5}{13})$

$AC^2 = 185 + \frac{104 \cdot 5}{13}$

$AC^2 = 185 + 8 \cdot 5$

$AC^2 = 185 + 40$

$AC^2 = 225$

$AC = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.