Номер 13, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. На продолжении стороны AB прямоугольного треугольника ABC ($\angle B = 90^\circ$) за точку B отметили точку M, а на продолжении стороны AC за точку C — точку N. Найдите отрезок MN, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{7}$ см, $BM = 10$ см, $CN = 6$ см.

13. На продолжении стороны $AB$ прямоугольного треугольника $ABC (\angle B = 90^\circ)$ за точку $B$ отметили точку $M$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точку $N$. Найдите отрезок $MN$, если $AC = 6$ см, $BC = 2\sqrt{7}$ см, $BM = 10$ см, $CN = 6$ см.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем все необходимые элементы для ее применения.

1. Нахождение длины катета AB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Подставим известные значения: $AC = 6$ см и $BC = 2\sqrt{7}$ см.

$6^2 = AB^2 + (2\sqrt{7})^2$

$36 = AB^2 + 4 \cdot 7$

$36 = AB^2 + 28$

$AB^2 = 36 - 28 = 8$

$AB = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

2. Нахождение длин сторон AM и AN треугольника AMN

Точка $M$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $B$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой, и длина отрезка $AM$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BM$.

$AM = AB + BM = 2\sqrt{2} + 10$ см.

Точка $N$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$. Аналогично, точки $A$, $C$ и $N$ лежат на одной прямой, и длина отрезка $AN$ равна сумме длин отрезков $AC$ и $CN$.

$AN = AC + CN = 6 + 6 = 12$ см.

3. Нахождение косинуса угла MAN

Так как точки $A, B, M$ лежат на одной прямой и точки $A, C, N$ лежат на одной прямой, то угол $\angle MAN$ совпадает с углом $\angle CAB$ треугольника $ABC$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

Следовательно, $\cos(\angle MAN) = \frac{\sqrt{2}}{3}$.

4. Нахождение отрезка MN по теореме косинусов

Теперь рассмотрим треугольник $AMN$. Мы знаем длины двух его сторон ($AM$ и $AN$) и косинус угла между ними ($\angle MAN$). По теореме косинусов:

$MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos(\angle MAN)$

Подставим найденные значения:

$MN^2 = (10 + 2\sqrt{2})^2 + 12^2 - 2 \cdot (10 + 2\sqrt{2}) \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}$

Вычислим по частям:

$(10 + 2\sqrt{2})^2 = 10^2 + 2 \cdot 10 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 100 + 40\sqrt{2} + 8 = 108 + 40\sqrt{2}$

$12^2 = 144$

$2 \cdot (10 + 2\sqrt{2}) \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{24}{3} \cdot (10 + 2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}(10 + 2\sqrt{2}) = 80\sqrt{2} + 16 \cdot 2 = 80\sqrt{2} + 32$

Теперь объединим все части:

$MN^2 = (108 + 40\sqrt{2}) + 144 - (80\sqrt{2} + 32)$

$MN^2 = 108 + 40\sqrt{2} + 144 - 80\sqrt{2} - 32$

$MN^2 = (108 + 144 - 32) + (40\sqrt{2} - 80\sqrt{2})$

$MN^2 = 220 - 40\sqrt{2}$

Таким образом, длина отрезка $MN$ равна:

$MN = \sqrt{220 - 40\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $MN = \sqrt{220 - 40\sqrt{2}}$ см.