Номер 296, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла A в точках B, C, D и E (рис. 27).

$AB : BD = 2 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $BC$ является образом отрезка $DE$;

2) отрезок $DE$ является образом отрезка $BC$.

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $A$ в точках $B, C, D$ и $E$ (рис. 27).

$AB : BD = 2 : 1$.

Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $BC$ является образом отрезка $DE$;

2) отрезок $DE$ является образом отрезка $BC$.

Поскольку прямые, содержащие отрезки BC и DE, параллельны, а прямые, соединяющие соответствующие концы этих отрезков (B с D и C с E), пересекаются в точке А, то преобразование, переводящее один отрезок в другой, является гомотетией с центром в точке А.

Найдем соотношение длин отрезков, выходящих из центра гомотетии. По условию дано, что $AB : BD = 2 : 1$. Пусть длина отрезка $BD = x$, тогда длина отрезка $AB = 2x$. Длина отрезка AD будет суммой длин отрезков AB и BD:

$AD = AB + BD = 2x + x = 3x$.

Теперь мы можем найти коэффициент гомотетии $k$ для каждого случая. Коэффициент гомотетии равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

1) отрезок BC является образом отрезка DE

В этом случае отрезок DE является прообразом, а отрезок BC — образом. Точка B является образом точки D. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AB$ к $AD$.

$k = \frac{AB}{AD} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.

Ответ: центр гомотетии — точка А, коэффициент $k = \frac{2}{3}$.

2) отрезок DE является образом отрезка BC

В этом случае отрезок BC является прообразом, а отрезок DE — образом. Точка D является образом точки B. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AD$ к $AB$.

$k = \frac{AD}{AB} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$.

Ответ: центр гомотетии — точка А, коэффициент $k = \frac{3}{2}$.