Номер 292, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

292. Начертите острый угол и отметьте точку A, принадлежащую этому углу, но не принадлежащую его сторонам. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке A и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{2}$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $A$, принадлежащую этому углу, но не принадлежащую его сторонам. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $A$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{2}$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить геометрическое построение, основанное на свойствах гомотетии (преобразования подобия). Гомотетия с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{AM'} = k \cdot \vec{AM}$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Начальные построения

Сначала начертим острый угол. Обозначим его вершину как $O$, а стороны (лучи) — как $l_1$ и $l_2$. Затем внутри этого угла, но не на его сторонах, отметим точку $A$, которая будет служить центром гомотетии.

2. Построение вершины искомого угла

Чтобы найти образ угла, нужно сначала найти образ его вершины $O$. Обозначим образ вершины как $O'$. Согласно определению гомотетии, точка $O'$ должна лежать на прямой $AO$, и должно выполняться равенство $\vec{AO'} = k \cdot \vec{AO}$.

Поскольку в нашей задаче коэффициент гомотетии $k = \frac{1}{2}$, то $\vec{AO'} = \frac{1}{2} \vec{AO}$. Это означает, что точка $O'$ является серединой отрезка $AO$.

Для построения точки $O'$ соединим точки $A$ и $O$ отрезком и найдем его середину (например, с помощью циркуля и линейки). Полученная точка $O'$ будет вершиной нового, гомотетичного угла.

3. Построение сторон искомого угла

Важным свойством гомотетии является то, что она преобразует прямую в параллельную ей прямую. Следовательно, стороны искомого угла будут параллельны сторонам исходного угла.

Проведем через новую вершину $O'$ луч $l'_1$, параллельный стороне $l_1$ исходного угла. Затем через точку $O'$ проведем луч $l'_2$, параллельный стороне $l_2$. Так как коэффициент $k = \frac{1}{2}$ положителен, то лучи $l'_1$ и $l'_2$ должны быть сонаправлены исходным лучам $l_1$ и $l_2$.

Угол, образованный лучами $l'_1$ и $l'_2$ с вершиной в точке $O'$, и является искомым углом. По свойствам гомотетии, он будет равен исходному углу.

Ответ: Построенный угол с вершиной в точке $O'$ (середина отрезка $AO$) и сторонами, параллельными и сонаправленными сторонам исходного угла, является гомотетичным данному углу с центром гомотетии в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.