Номер 291, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Начертите отрезок $AB$ длиной 2 см и отметьте точку $O$, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезку $AB$, с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -\frac{1}{4}$.

291. Начертите отрезок AB длиной 2 см и отметьте точку O, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезок AB, с центром гомотетии в точке O и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -\frac{1}{4}$.

Для построения отрезка, гомотетичного отрезку $AB$, необходимо построить образы его концов, точек $A$ и $B$, при гомотетии с центром в точке $O$ и заданным коэффициентом $k$. Затем эти образы, точки $A'$ и $B'$, соединяются, образуя искомый отрезок $A'B'$.

По определению гомотетии, для любой точки $M$ её образ $M'$ находится из векторного равенства $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Это означает, что:

1. Точка $M'$ лежит на прямой $OM$.
2. Если $k > 0$, то $M'$ лежит на луче $OM$ (то есть $O$ не лежит между $M$ и $M'$).
3. Если $k < 0$, то $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$ (то есть $O$ лежит между $M$ и $M'$).
4. Расстояние между $O$ и $M'$ равно $OM' = |k| \cdot OM$.

Длина полученного отрезка $A'B'$ будет равна $|k| \cdot AB$.

Исходные данные: длина отрезка $AB = 2$ см.

1) k = 3

Построение:

1. Проводим луч $OA$ из центра гомотетии $O$ через точку $A$.
2. Так как коэффициент $k = 3 > 0$, точка $A'$ (образ точки $A$) будет лежать на этом луче.
3. На луче $OA$ откладываем от точки $O$ отрезок $OA'$, длина которого в три раза больше длины отрезка $OA$. То есть, $OA' = 3 \cdot OA$.
4. Аналогично проводим луч $OB$ и на нем откладываем отрезок $OB'$ так, чтобы $OB' = 3 \cdot OB$.
5. Соединяем точки $A'$ и $B'$. Отрезок $A'B'$ является искомым.

Длина полученного отрезка $A'B'$ равна $|k| \cdot AB = 3 \cdot 2 = 6$ см. Отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$.
Ответ: Искомый отрезок $A'B'$ строится путем нахождения образов $A'$ и $B'$ на лучах $OA$ и $OB$ соответственно, так что $OA' = 3 \cdot OA$ и $OB' = 3 \cdot OB$. Длина отрезка $A'B'$ равна 6 см, и он параллелен $AB$.

2) k = -1/4

Построение:

1. Проводим прямую через точки $O$ и $A$.
2. Так как коэффициент $k = -\frac{1}{4} < 0$, точка $A'$ (образ точки $A$) будет лежать на этой прямой, но с противоположной стороны от точки $O$ по отношению к точке $A$.
3. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OA'$, длина которого равна четверти длины отрезка $OA$. То есть, $OA' = |-\frac{1}{4}| \cdot OA = \frac{1}{4} \cdot OA$.
4. Аналогично проводим прямую через точки $O$ и $B$. На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OB'$ так, чтобы $OB' = \frac{1}{4} \cdot OB$.
5. Соединяем точки $A'$ и $B'$. Отрезок $A'B'$ является искомым.

Длина полученного отрезка $A'B'$ равна $|k| \cdot AB = |-\frac{1}{4}| \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = 0,5$ см. Отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$.
Ответ: Искомый отрезок $A'B'$ строится путем нахождения образов $A'$ и $B'$ на прямых $OA$ и $OB$ соответственно, так что точки $A'$ и $B'$ лежат с противоположной стороны от центра $O$ (по сравнению с $A$ и $B$), и $OA' = \frac{1}{4} \cdot OA$, $OB' = \frac{1}{4} \cdot OB$. Длина отрезка $A'B'$ равна 0,5 см, и он параллелен $AB$.