Номер 34, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Две стороны треугольника равны $2\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

34. Две стороны треугольника равны $2\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$, а радиус описанной окружности равен $R$.

По условию задачи нам даны две стороны и связь третьей стороны с радиусом описанной окружности:
$a = 2\sqrt{3}$ см
$b = 8$ см
$c = R$

Воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Из этой теоремы следует, что $\frac{c}{\sin C} = 2R$. Подставим в это соотношение условие $c = R$:
$\frac{R}{\sin C} = 2R$

Так как радиус $R$ не может быть равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $R$:
$\frac{1}{\sin C} = 2$
Отсюда находим синус угла $C$, противолежащего стороне $c$:
$\sin C = \frac{1}{2}$

В треугольнике угол может быть в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Существует два угла в этом диапазоне, синус которых равен $\frac{1}{2}$:
$C_1 = 30^{\circ}$
$C_2 = 150^{\circ}$

Теперь, чтобы найти длину стороны $c$, применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Мы должны рассмотреть оба возможных случая для угла $C$.

Случай 1: $C = 30^{\circ}$
Подставляем известные значения в теорему косинусов:
$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 8 \cdot \cos(30^{\circ})$
$c^2 = (4 \cdot 3) + 64 - 32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$c^2 = 12 + 64 - 16 \cdot 3$
$c^2 = 76 - 48$
$c^2 = 28$
$c = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Случай 2: $C = 150^{\circ}$
Значение косинуса для этого угла: $\cos(150^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в теорему косинусов:
$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 8 \cdot \cos(150^{\circ})$
$c^2 = 12 + 64 - 32\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$c^2 = 76 + 16 \cdot 3$
$c^2 = 76 + 48$
$c^2 = 124$
$c = \sqrt{124} = \sqrt{4 \cdot 31} = 2\sqrt{31}$ см.

Оба найденных значения являются решениями задачи, так как для обоих случаев выполняется неравенство треугольника.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см или $2\sqrt{31}$ см.