Номер 39, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CE$. Найдите стороны $AC$ и $BC$ и биссектрису $CE$, если $AE = a$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CE$. Найдите стороны $AC$ и $BC$ и биссектрису $CE$, если $AE = a$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Сначала найдём все необходимые углы.

1. Найдём угол $\angle C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

2. Так как $CE$ является биссектрисой угла $\angle C$, она делит этот угол пополам:

$\angle ACE = \angle BCE = \frac{\angle C}{2} = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $AEC$. Мы знаем два его угла: $\angle A = \alpha$ и $\angle ACE = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$. Найдём третий угол, $\angle AEC$:

$\angle AEC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACE) = 180^\circ - \left(\alpha + 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = 90^\circ - \alpha + \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{2\alpha - \alpha - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Теперь, зная все углы и сторону $AE = a$ в треугольнике $AEC$, мы можем применить теорему синусов, чтобы найти искомые стороны и биссектрису.

Теорема синусов для $\triangle AEC$:

$\frac{AE}{\sin(\angle ACE)} = \frac{AC}{\sin(\angle AEC)} = \frac{CE}{\sin(\angle A)}$

Нахождение стороны AC

Из соотношения $\frac{AC}{\sin(\angle AEC)} = \frac{AE}{\sin(\angle ACE)}$ выразим $AC$:

$AC = AE \cdot \frac{\sin(\angle AEC)}{\sin(\angle ACE)} = a \cdot \frac{\sin(90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:

$AC = a \frac{\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Ответ: $AC = a \frac{\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Нахождение стороны BC

Применим теорему синусов к основному треугольнику $ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Выразим $BC$:

$BC = AC \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle B)} = AC \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$.

Теперь подставим ранее найденное выражение для $AC$:

$BC = \left( a \frac{\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})} \right) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{a \sin(\alpha) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(\beta) \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Ответ: $BC = \frac{a \sin(\alpha) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(\beta) \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Нахождение биссектрисы CE

Вернемся к теореме синусов для треугольника $AEC$. Из соотношения $\frac{CE}{\sin(\angle A)} = \frac{AE}{\sin(\angle ACE)}$ выразим $CE$:

$CE = AE \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle ACE)} = a \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Используя ту же формулу приведения, получаем:

$CE = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Ответ: $CE = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.