Номер 46, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AB = 12$ см, $\angle A = 74^\circ$, $\angle C = 39^\circ$;

2) $AB = 8$ см, $BC = 5$ см, $\angle B = 100^\circ$;

3) $AB = 6$ см, $BC = 7$ см, $AC = 10$ см;

4) $AC = 5$ см, $BC = 8$ см, $\angle A = 130^\circ$;

5) $AC = 6$ см, $AB = 8$ см, $\angle C = 10^\circ$;

6) $BC = 8$ см, $AC = 7$ см, $\angle B = 10^\circ$;

7) $BC = 8$ см, $AC = 3$ см, $\angle B = 70^\circ$.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 12 \text{ см}$, $\angle A = 74^\circ$, $\angle C = 39^\circ$;

2) $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $\angle B = 100^\circ$;

3) $AB = 6 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$;

4) $AC = 5 \text{ см}$, $BC = 8 \text{ см}$, $\angle A = 130^\circ$;

5) $AC = 6 \text{ см}$, $AB = 8 \text{ см}$, $\angle C = 10^\circ$;

6) $BC = 8 \text{ см}$, $AC = 7 \text{ см}$, $\angle B = 10^\circ$;

7) $BC = 8 \text{ см}$, $AC = 3 \text{ см}$, $\angle B = 70^\circ$.

Для решения задач будем использовать теорему синусов и теорему косинусов для треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$.

Теорема синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Теорема косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.

Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Дано: $c = 12$ см, $\angle A = 74^\circ$, $\angle C = 39^\circ$. Найти: $\angle B, AC, BC$.

1. Находим неизвестный угол $\angle B$ из свойства суммы углов треугольника:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (74^\circ + 39^\circ) = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ$.

2. Находим неизвестные стороны $BC$ (сторона $a$) и $AC$ (сторона $b$) по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{12 \cdot \sin 74^\circ}{\sin 39^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.9613}{0.6293} \approx 18.33$ см.

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{12 \cdot \sin 67^\circ}{\sin 39^\circ} \approx \frac{12 \cdot 0.9205}{0.6293} \approx 17.55$ см.

Ответ: $\angle B = 67^\circ$, $BC \approx 18.33$ см, $AC \approx 17.55$ см.

Дано: $c = AB = 8$ см, $a = BC = 5$ см, $\angle B = 100^\circ$. Найти: $AC, \angle A, \angle C$.

1. Находим сторону $AC$ (сторона $b$) по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 100^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot (-0.1736) \approx 89 + 13.89 = 102.89$.

$AC = \sqrt{102.89} \approx 10.14$ см.

2. Находим угол $\angle A$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC} \approx \frac{5 \cdot \sin 100^\circ}{10.14} \approx \frac{5 \cdot 0.9848}{10.14} \approx 0.4856$.

$\angle A = \arcsin(0.4856) \approx 29.05^\circ$.

3. Находим угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 29.05^\circ - 100^\circ = 50.95^\circ$.

Ответ: $AC \approx 10.14$ см, $\angle A \approx 29.05^\circ$, $\angle C \approx 50.95^\circ$.

Дано: $c = AB = 6$ см, $a = BC = 7$ см, $b = AC = 10$ см. Найти: $\angle A, \angle B, \angle C$.

1. Находим углы по теореме косинусов:

$\cos A = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{10^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 6} = \frac{100 + 36 - 49}{120} = \frac{87}{120} = 0.725$.

$\angle A = \arccos(0.725) \approx 43.53^\circ$.

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{6^2 + 7^2 - 10^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 100}{84} = \frac{-15}{84} \approx -0.1786$.

$\angle B = \arccos(-0.1786) \approx 100.28^\circ$.

2. Находим угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 43.53^\circ - 100.28^\circ = 36.19^\circ$.

Ответ: $\angle A \approx 43.53^\circ$, $\angle B \approx 100.28^\circ$, $\angle C \approx 36.19^\circ$.

Дано: $b = AC = 5$ см, $a = BC = 8$ см, $\angle A = 130^\circ$. Найти: $AB, \angle B, \angle C$.

1. Находим угол $\angle B$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{AC \cdot \sin A}{BC} = \frac{5 \cdot \sin 130^\circ}{8} \approx \frac{5 \cdot 0.7660}{8} \approx 0.4788$.

$\angle B = \arcsin(0.4788) \approx 28.61^\circ$. (Второй возможный угол $180^\circ - 28.61^\circ = 151.39^\circ$ не подходит, так как $130^\circ + 151.39^\circ > 180^\circ$).

2. Находим угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 130^\circ - 28.61^\circ = 21.39^\circ$.

3. Находим сторону $AB$ (сторона $c$) по теореме синусов:

$AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} \approx \frac{8 \cdot \sin 21.39^\circ}{\sin 130^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.3647}{0.7660} \approx 3.81$ см.

Ответ: $\angle B \approx 28.61^\circ$, $\angle C \approx 21.39^\circ$, $AB \approx 3.81$ см.

Дано: $b = AC = 6$ см, $c = AB = 8$ см, $\angle C = 10^\circ$. Найти: $BC, \angle A, \angle B$.

1. Находим угол $\angle B$ по теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow \sin B = \frac{AC \cdot \sin C}{AB} = \frac{6 \cdot \sin 10^\circ}{8} \approx \frac{6 \cdot 0.1736}{8} \approx 0.1302$.

$\angle B = \arcsin(0.1302) \approx 7.48^\circ$. (Второй возможный угол $180^\circ - 7.48^\circ = 172.52^\circ$ не подходит, так как $10^\circ + 172.52^\circ > 180^\circ$).

2. Находим угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C \approx 180^\circ - 7.48^\circ - 10^\circ = 162.52^\circ$.

3. Находим сторону $BC$ (сторона $a$) по теореме синусов:

$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} \approx \frac{8 \cdot \sin 162.52^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.3004}{0.1736} \approx 13.84$ см.

Ответ: $\angle B \approx 7.48^\circ$, $\angle A \approx 162.52^\circ$, $BC \approx 13.84$ см.

Дано: $a = BC = 8$ см, $b = AC = 7$ см, $\angle B = 10^\circ$. Найти: $AB, \angle A, \angle C$.

1. Находим угол $\angle A$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC} = \frac{8 \cdot \sin 10^\circ}{7} \approx \frac{8 \cdot 0.1736}{7} \approx 0.1984$.

Так как $\sin A \approx 0.1984 < 1$, возможны два решения для угла $\angle A$:

$\angle A_1 = \arcsin(0.1984) \approx 11.45^\circ$.

$\angle A_2 = 180^\circ - 11.45^\circ = 168.55^\circ$.

Оба варианта возможны, так как в обоих случаях сумма известных углов меньше $180^\circ$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $\angle A_1 \approx 11.45^\circ$.

$\angle C_1 = 180^\circ - \angle B - \angle A_1 \approx 180^\circ - 10^\circ - 11.45^\circ = 158.55^\circ$.

$AB_1 = \frac{AC \cdot \sin C_1}{\sin B} \approx \frac{7 \cdot \sin 158.55^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.3657}{0.1736} \approx 14.75$ см.

Случай 2: $\angle A_2 \approx 168.55^\circ$.

$\angle C_2 = 180^\circ - \angle B - \angle A_2 \approx 180^\circ - 10^\circ - 168.55^\circ = 1.45^\circ$.

$AB_2 = \frac{AC \cdot \sin C_2}{\sin B} \approx \frac{7 \cdot \sin 1.45^\circ}{\sin 10^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.0253}{0.1736} \approx 1.02$ см.

Ответ: Задача имеет два решения:
1) $\angle A \approx 11.45^\circ$, $\angle C \approx 158.55^\circ$, $AB \approx 14.75$ см;
2) $\angle A \approx 168.55^\circ$, $\angle C \approx 1.45^\circ$, $AB \approx 1.02$ см.

Дано: $a = BC = 8$ см, $b = AC = 3$ см, $\angle B = 70^\circ$. Найти: $AB, \angle A, \angle C$.

1. Попробуем найти угол $\angle A$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC} = \frac{8 \cdot \sin 70^\circ}{3} \approx \frac{8 \cdot 0.9397}{3} \approx 2.5059$.

Значение синуса угла не может быть больше 1. Так как $\sin A \approx 2.5059 > 1$, то угла $A$, удовлетворяющего этому условию, не существует.

Ответ: Треугольник с такими параметрами не существует.