Номер 47, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. В треугольнике $ABC$ $\angle A = \angle B = 50^\circ$, $AB = 8$ см. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AH$;

3) медиану $CM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

47. В треугольнике $ABC$ $\angle A = \angle B = 50^\circ$, $AB = 8$ см. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AH$;

3) медиану $CM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

Поскольку в треугольнике ABC углы при основании равны ($\angle A = \angle B = 50^\circ$), то он является равнобедренным с основанием AB. Следовательно, боковые стороны AC и BC равны.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle C$ можно найти как:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

1) сторону AC

Проведем высоту CM из вершины C к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка M делит сторону AB пополам: $AM = MB = AB / 2 = 8 / 2 = 4$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. В нем известен катет $AM = 4$ см и угол $\angle A = 50^\circ$.
Из определения косинуса: $\cos A = \frac{AM}{AC}$.
Отсюда $AC = \frac{AM}{\cos A} = \frac{4}{\cos(50^\circ)}$ см.
Ответ: $AC = \frac{4}{\cos(50^\circ)}$ см.

2) высоту AH

Высота AH проведена из вершины A к стороне BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. В нем известна гипотенуза $AB = 8$ см и угол $\angle B = 50^\circ$.
Катет AH лежит напротив угла B. Из определения синуса: $\sin B = \frac{AH}{AB}$.
Отсюда $AH = AB \cdot \sin B = 8 \sin(50^\circ)$ см.
Ответ: $AH = 8 \sin(50^\circ)$ см.

3) медиану CM

Медиана CM проведена из вершины C к стороне AB. Как было показано в пункте 1, в данном равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также и высотой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. В нем известен катет $AM = 4$ см и угол $\angle A = 50^\circ$.
Из определения тангенса: $\tan A = \frac{CM}{AM}$.
Отсюда $CM = AM \cdot \tan A = 4 \tan(50^\circ)$ см.
Ответ: $CM = 4 \tan(50^\circ)$ см.

4) биссектрису AD

Биссектриса AD делит угол A пополам, поэтому $\angle BAD = \angle A / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$.
Рассмотрим треугольник ABD. В нем известна сторона $AB = 8$ см и два прилежащих к ней угла: $\angle B = 50^\circ$ и $\angle BAD = 25^\circ$.
Найдем третий угол этого треугольника: $\angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle BAD) = 180^\circ - (50^\circ + 25^\circ) = 105^\circ$.
Применим теорему синусов к треугольнику ABD: $\frac{AD}{\sin B} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$.
$\frac{AD}{\sin(50^\circ)} = \frac{8}{\sin(105^\circ)}$.
Отсюда $AD = \frac{8 \sin(50^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.
Ответ: $AD = \frac{8 \sin(50^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.

5) радиус описанной окружности треугольника ABC

Радиус описанной окружности (R) можно найти с помощью обобщенной теоремы синусов: $\frac{c}{\sin C} = 2R$.
В нашем случае $c = AB = 8$ см, а $\angle C = 80^\circ$.
$\frac{8}{\sin(80^\circ)} = 2R$.
Отсюда $R = \frac{8}{2 \sin(80^\circ)} = \frac{4}{\sin(80^\circ)}$ см.
Ответ: $R = \frac{4}{\sin(80^\circ)}$ см.

6) радиус вписанной окружности треугольника ABC

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса угла C (которая совпадает с медианой и высотой CM) является осью симметрии, поэтому инцентр I лежит на CM.
Радиус вписанной окружности (r) — это длина перпендикуляра, опущенного из инцентра на сторону. Так как CM перпендикулярна AB, то отрезок IM (где M - середина AB) равен радиусу r.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMI. AI является биссектрисой угла A, поэтому $\angle IAM = \angle A / 2 = 50^\circ / 2 = 25^\circ$. Катет $AM = 4$ см.
Из определения тангенса: $\tan(\angle IAM) = \frac{IM}{AM}$.
$\tan(25^\circ) = \frac{r}{4}$.
Отсюда $r = 4 \tan(25^\circ)$ см.
Ответ: $r = 4 \tan(25^\circ)$ см.