Номер 41, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

В нашем случае дан равнобедренный треугольник со сторонами $a = 10$ см (основание) и $b = c = 13$ см (боковые стороны).

1. Найдем высоту и площадь треугольника.

Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $10 / 2 = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной ($13$ см) и половиной основания ($5$ см). По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$ по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².

2. Найдем радиус описанной окружности.

Подставим значения сторон и площади в формулу для радиуса:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{10 \cdot 13 \cdot 13}{4 \cdot 60} = \frac{10 \cdot 169}{240} = \frac{1690}{240} = \frac{169}{24}$ см.

Также можно было использовать специальную формулу для радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника: $R = \frac{b^2}{2h}$, где $b$ — боковая сторона, а $h$ — высота, проведенная к основанию.

$R = \frac{13^2}{2 \cdot 12} = \frac{169}{24}$ см.

Представим ответ в виде смешанной дроби:

$\frac{169}{24} = 7 \frac{1}{24}$ см.

Ответ: $7 \frac{1}{24}$ см.