Номер 48, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. В трапеции $ABCD$ $AB = CD = 8$ см, $\angle CBD = 58^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$. Найдите:

1) основания и диагональ трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$.

48. В трапеции $ABCD$ $AB = CD = 8$ см, $\angle CBD = 58^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$. Найдите:

1) основания и диагональ трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Поскольку в трапеции ABCD боковые стороны равны ($AB = CD = 8$ см), трапеция является равнобедренной. Основания трапеции — $BC$ и $AD$.

Найдем углы, необходимые для решения.Угол при вершине B трапеции равен сумме двух данных углов:$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 46^\circ + 58^\circ = 104^\circ$.Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине A:$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.Так как основания $BC$ и $AD$ параллельны, накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны:$\angle ADB = \angle CBD = 58^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем сторону $AB = 8$ см и все его углы: $\angle BAD = 76^\circ$, $\angle ABD = 46^\circ$ и $\angle ADB = 58^\circ$.Применим теорему синусов для треугольника $ABD$:$\frac{AB}{\sin\angle ADB} = \frac{AD}{\sin\angle ABD} = \frac{BD}{\sin\angle BAD}$Подставим известные значения:$\frac{8}{\sin 58^\circ} = \frac{AD}{\sin 46^\circ} = \frac{BD}{\sin 76^\circ}$

Из этого соотношения находим большее основание $AD$ и диагональ $BD$:$AD = \frac{8 \cdot \sin 46^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.7193}{0.8480} \approx 6.79$ см.$BD = \frac{8 \cdot \sin 76^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.9703}{0.8480} \approx 9.15$ см.

Для нахождения меньшего основания $BC$ рассмотрим треугольник $BCD$. В равнобедренной трапеции $\angle CDA = \angle BAD = 76^\circ$.Тогда угол $\angle BDC$ можно найти как разность:$\angle BDC = \angle CDA - \angle ADB = 76^\circ - 58^\circ = 18^\circ$.Применим теорему синусов к треугольнику $BCD$:$\frac{BC}{\sin\angle BDC} = \frac{CD}{\sin\angle CBD}$$\frac{BC}{\sin 18^\circ} = \frac{8}{\sin 58^\circ}$Отсюда находим $BC$:$BC = \frac{8 \cdot \sin 18^\circ}{\sin 58^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.3090}{0.8480} \approx 2.92$ см.

Ответ: основания трапеции равны $AD = \frac{8 \sin 46^\circ}{\sin 58^\circ} \approx 6.79$ см и $BC = \frac{8 \sin 18^\circ}{\sin 58^\circ} \approx 2.92$ см; диагональ $BD = \frac{8 \sin 76^\circ}{\sin 58^\circ} \approx 9.15$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, находится с помощью следствия из теоремы синусов. Отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру ($2R$) описанной окружности.Применительно к треугольнику $ABD$:$2R = \frac{AB}{\sin\angle ADB}$

Подставим известные значения:$2R = \frac{8}{\sin 58^\circ}$Отсюда выразим и вычислим радиус $R$:$R = \frac{4}{\sin 58^\circ} \approx \frac{4}{0.8480} \approx 4.72$ см.

Ответ: радиус окружности, описанной около треугольника ABD, равен $R = \frac{4}{\sin 58^\circ} \approx 4.72$ см.